MATHEMATICAL MODEL OF HYDRODYNAMIC CONDITIONS OF THE LIQUID FLOW AROUND THE CONIC SURFACE IN THE CYLINDRICAL CHANNEL
Authors:
1.
FSBEI HVE «Kemerovo Institute of Food Science and Technology»
2.
FSBEI HVE «Kemerovo Institute of Food Science and Technology»
3.
FSBEI HVE «Kemerovo Institute of Food Science and Technology»
Type:
Article
Pages:
from 92
to 96
Status:
Published
Received:
30.04.2015
Accepted:
30.04.2015
Published:
30.04.2015
Subject area:
UDK 532.5:001.891.573
UDK 66 Химическая технология. Химическая промышленность. Родственные отрасли
UDK 60 Прикладные науки. Общие вопросы
UDK 66 Химическая технология. Химическая промышленность. Родственные отрасли
UDK 60 Прикладные науки. Общие вопросы
Language:
Russian
Keywords:
Mathematical model, hydrodynamic conditions, conic surface, membrane methods
Abstract (English):
Membrane methods are widespread in the processing of liquid food media. Development and implementation of new membrane equipment involves the reasonable choice of its parameters, including the sizes of several structural elements. Mathematical modeling makes it possible to select the parameters of the developed membrane equipment at the design stage on the basis of the creation and study of appropriate mathematical models. Particular interest is in the mathematical models of hydrodynamic conditions in the internal channel of the tubular ceramic membrane filter when it contains elements of various geometric shapes, aiming to reduce the influence of "concentrated polarization" on the productivity of the processing of liquid food media. The use of hydrodynamic elements enables to increase locally the flow rate of the product, which leads to a decrease of detained substance layer on the membrane surface and intensifies the membrane process. The hydrodynamic element in the form of conic surface has been selected. The basic analytical dependences have been examined. They helped to determine the hydrodynamic conditions, such as flow rate (Reynolds criterion) and loss of pressure, depending on the viscosity and geometric dimensions of the hydraulic resistance in the form of a conic surface in the cylindrical channel. The method of calculation of hydrodynamic conditions of the liquid flow around the conic surface in the cylindrical channel has been considered. The mathematical model of hydrodynamic conditions with hydraulic resistance in the form of a conic surface in the cylindrical channel has been created with MathCAD. The calculation of hydrodynamic conditions by the example of the movement of low concentrated water solution in the internal channel of the tubular ceramic membrane filter has been done. The rational sizes of geometric dimensions of a conic surface have been chosen.
Membrane methods are widespread in the processing of liquid food media. Development and implementation of new membrane equipment involves the reasonable choice of its parameters, including the sizes of several structural elements. Mathematical modeling makes it possible to select the parameters of the developed membrane equipment at the design stage on the basis of the creation and study of appropriate mathematical models. Particular interest is in the mathematical models of hydrodynamic conditions in the internal channel of the tubular ceramic membrane filter when it contains elements of various geometric shapes, aiming to reduce the influence of "concentrated polarization" on the productivity of the processing of liquid food media. The use of hydrodynamic elements enables to increase locally the flow rate of the product, which leads to a decrease of detained substance layer on the membrane surface and intensifies the membrane process. The hydrodynamic element in the form of conic surface has been selected. The basic analytical dependences have been examined. They helped to determine the hydrodynamic conditions, such as flow rate (Reynolds criterion) and loss of pressure, depending on the viscosity and geometric dimensions of the hydraulic resistance in the form of a conic surface in the cylindrical channel. The method of calculation of hydrodynamic conditions of the liquid flow around the conic surface in the cylindrical channel has been considered. The mathematical model of hydrodynamic conditions with hydraulic resistance in the form of a conic surface in the cylindrical channel has been created with MathCAD. The calculation of hydrodynamic conditions by the example of the movement of low concentrated water solution in the internal channel of the tubular ceramic membrane filter has been done. The rational sizes of geometric dimensions of a conic surface have been chosen.
Keywords:
Mathematical model, hydrodynamic conditions, conic surface, membrane methods
Mathematical model, hydrodynamic conditions, conic surface, membrane methods
Введение Математическое моделирование является неотъемлемой частью современного научного исследования. Математическая модель представляет собой эффективный инструмент познания реального объекта и позволяет определить его характеристики, получить оценку показателей эффективности качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта [1, 7]. Математическое моделирование применимо к различным процессам, протекающим при переработке пищевых сред - механическим (в том числе мембранным), теплообменным, массообменным и т.д. В основе математической модели процессов мембранной переработки, как правило, лежат показатели их эффективности - селективность и удельная производительность (проницаемость). Во многом снижение данных показателей обусловлено явлением «концентрационной поляризации», которое связано с накоплением слоя задерживаемых веществ на поверхности мембраны. Одним из эффективных способов борьбы с данным явлением служит гидродинамический способ, заключающийся в использовании специальных элементов, локально повышающих скорость потока среды. При проектировании нового мембранного оборудования необходим расчет и обоснованный выбор параметров аппарата. Целью данной работы являлась разработка математической модели гидродинамических условий при обтекании жидкостью конического элемента в цилиндрическом канале и методики выбора рациональных размеров конического элемента на основе реализации модели программными средствами современных математических пакетов. Объект и методы исследования Объектом моделирования является совокупность гидродинамических условий, таких как скорость потока среды (критерий Рейнольдса) и потери давления, в зависимости от вязкости среды и геометрических размеров гидравлического сопротивления в виде конического элемента, расположенного в цилиндрическом канале (рис. 1). В основу расчета положено уравнение неразрывности потока [2, 3] (1) или (2) где Q', Q'' - объемные расходы в областях меньшего и большего оснований усеченного конуса соответственно, м3/ч; S', S'' - площади кольцевых сечений в областях меньшего и большего оснований усеченного конуса соответственно, м2; v', v'' - скорости течения потока среды в областях меньшего и большего оснований усеченного конуса соответственно, м/с. Рис. 1. Конический элемент в цилиндрическом канале Гидродинамические условия в потоке характеризует критерий Рейнольдса (Re), учитывающий отношение сил инерции к силам трения [2, 3, 6] , (3) где ρ - плотность среды, кг/м3; v - скорость потока, м/с; Dэкв - эквивалентный диаметр, м; η - динамический коэффициент вязкости, Н∙с/м2; ν - кинематический коэффициент вязкости, м2/с. Эквивалентный диаметр кольцевого пространства определяется по формуле: , (4) где D - наружный диаметр кольца, м; d - внутренний диаметр кольца, м. Потери давления на местном сопротивлении определяются по формуле Вейсбаха [2, 3, 6] , (5) где Δp - потери давления на местном сопротивлении, Па; ξ - коэффициент местного сопротивления; v - скорость потока, м/с; ρ - плотность среды, кг/м3. Конический элемент в цилиндрическом канале представляет собой кольцевой конфузор. Коэффициент гидравлического сопротивления кольцевого конфузора может быть определен по эквивалентному коническому конфузору с той же степенью сужения, длиной и площадью выходного сечения [4, 5]. Угол сужения эквивалентного конического конфузора определим по формуле в соответствии с рис. 1 , (6) где n0 - степень сужения: n0 = S’ / S”. (7) Коэффициент гидравлического сопротивления определим по формуле [5] ζ = ζм + ζтр, (8) где ξм - коэффициент местных потерь [5]; ξтр - коэффициент потерь на трение по длине конфузора [5]. , (9) где αр - угол сужения в радианах [5]; αр = 0,01745α (10) , (11) где λ - коэффициент гидравлического трения. Заметим, что уравнение (2) позволяет рассчитать скорость течения потока среды в области большего основания усеченного конуса при известной скорости в области меньшего основания. Для расчета изменения скорости потока среды по всей длине конического элемента разобьем его на бесконечно большое количество n элементарных сечений (рис. 2) длиной l = l1 = l2 = … = ln, т.е. (12) Рис. 2. Конический элемент в цилиндрическом канале (расчетная модель): v0, v1, v2 … vn - скорости на границах элементарных сечений, м/с; S0, S1, S2 … Sn - граничные площади элементарных сечений, м2 С учетом вышесказанного приведем расчетные формулы. В соответствии с (2) скорость потока определяется по формуле: , (13) , (14) где ΔR - приращение радиуса меньшего основания усеченного конуса (15) В соответствии с (3) критерий Рейнольдса определяется по формуле (16) В соответствии с (4) потери давления определяются по формуле (17) Зависимости (13)-(17) могут быть реализованы программными средствами математических пакетов. Результаты и их обсуждение Математическая модель гидродинамических условий на гидравлическом сопротивлении в виде конического элемента, расположенного в цилиндрическом канале, реализована средствами MathCAD. Методика расчета гидродинамических условий предполагает следующие этапы: 1. Построение семейства кривых изменения скоростей по длине конического элемента в зависимости от сочетания значений диаметров большего и меньшего его оснований и выбор кривых, демонстрирующих более интенсивную динамику скорости. На данном этапе длину конического элемента принимают постоянной. Проведем расчет на примере конического элемента, расположенного в канале трубчатого керамического мембранного фильтра. Современная отечественная промышленность (в частности, ООО НПО «Керамикфильтр») выпускает трубчатые керамические мембранные фильтры с диаметром внутреннего канала 6 мм и длиной 800 мм. Произвольно положим длину конического элемента 10% от общей длины, т.е. L = 8 мм = 0,008 м. Примем комбинации значений большего D'' и меньшего D' диаметров конического элемента в соответствии с табл. 1. В качестве среды рассмотрим крахмальное молоко как слабоконцентрированный водный раствор, поэтому примем ρ = 1000 кг/м3 и η = 0,001 Н∙с/м2 при средней температуре 20ºС. Расчет производится при условии, что скорость потока пермеата сквозь мембранный фильтр значительно меньше скорости потока среды в его внутреннем канале, поэтому скоростью потока пермеата пренебрегают, и уравнение (2) справедливо. Также при расчетах примем n = 1000. Таблица 1 Комбинации значений большего D'' и меньшего D' диаметров конического элемента Номер комбинации 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D', м 0,001 0,001 0,001 0,001 0,002 0,002 0,002 0,003 0,003 0,004 D'', м 0,002 0,003 0,004 0,005 0,003 0,004 0,005 0,004 0,005 0,005 Наиболее интенсивную динамику скорости демонстрируют кривые, соответствующие комбинациям 4, 7 и 9 табл. 1 (рис. 3). Рис. 3. Кривые динамики скорости при начальной скорости 1 м/с: 1 - D' = 0,001 м, D'' = 0,005 м; 2 - D' = 0,002 м, D'' = 0,005 м; 3 - D' = 0,003 м, D'' = 0,005 м 2. Построение семейства кривых потерь давлений по длине конического элемента для выбранных кривых изменения скорости, т.е. кривых, соответствующих комбинациям 4, 7 и 9 табл. 1 (рис. 4). Очевидно, что минимальными потерями давления характеризуется комбинация 4, поскольку площадь, ограниченная соответствующей кривой, меньше площадей, ограниченных кривыми, соответствующими комбинациям 7 и 9. Таким образом, в качестве рациональных значений принимаем значения большего D'' = 0,005 м и меньшего D' = 0,001 м диаметров оснований конического элемента. 3. Выбор рационального значения длины конического элемента, который осуществляется на основании критерия Q (17), учитывающего суммарные потери давления Δр на некотором количестве конических элементов N: . (18) Расчет значений критерия и выбор его максимального значения осуществлялся средствами MathCAD. В результате получено рациональное значение длины конического элемента L = 4,2 мм. Рис. 4. Кривые потерь давления при начальной скорости 1 м/с: 1 - D' = 0,001 м, D'' = 0,005 м; 2 - D' = 0,002 м, D'' = 0,005 м; 3 - D' = 0,003 м, D'' = 0,005 м Следовательно, при переработке слабоконцентрированного водного раствора с применением трубчатого керамического мембранного фильтра с диаметром внутреннего канала 0,006 м и длиной 0,8 м рациональные размеры конического элемента составят: диаметр большего основания 0,005 м, диаметр меньшего основания 0,001 м, длина 0,0042 м. Таким образом, реализована математическая модель гидродинамических условий, таких как скорость потока среды (критерий Рейнольдса) и потери давления на гидравлическом сопротивлении в виде конического элемента, расположенного в цилиндрическом канале, позволяющая провести расчет и обоснованный выбор рациональных размеров мембранного оборудования. Математическая модель предусматривает возможность расчета мембранного оборудования с различным диаметром керамических мембран, выпускаемых отечественной и зарубежной промышленностью. Кроме того, математическая модель учитывает свойства перерабатываемых сред, и, следовательно, применима при расчете гидродинамических условий, возникающих в большинстве пищевых сред при их переработке мембранными методами. Применение математической модели на этапе проектирования мембранного оборудования значительно упрощает расчет его отдельных элементов и сокращает сроки ввода оборудования в эксплуатацию.
1. Malygin, E.N. Matematicheskie metody v tehnicheskih raschetah / E.N. Malygin. - Tambov: Izd-vo GOU VPO TGTU, 2010. - 80 s.
2. Geyer, V.G. Gidravlika i gidroprivod / V.G. Geyer, V.S. Dulin, A.N. Zarya. - M.: Nedra, 1991. - 333 s.
3. Uhin, B.V. Gidravlika / B.V. Uhin, A.A. Gusev. - M.: INFRA-M, 2010. - 432 s.
4. Aslamova, V.S. Raschet gidrodinamicheskogo soprotivleniya pryamotochnogo ciklona s promezhutochnym otborom / V.S. Aslamova // Izvestiya Tomskogo politehnicheskogo universiteta. - 2008. - T. 313, № 4. - S. 54-60.
5. Idel'chik, I.E. Spravochnik po gidravlicheskim soprotivleniyam / I.E. Idel'chik. Pod red. M.O. Shteynberga. - M.: Mashinostroenie, 1992. - 672 s.
6. Kerger, F. Modeling flows in environmental and civil engineering / F. Kerger, B.J. Dewals, S. Erpicum, P. Archambeau, M. Pirotton. - Nova Science Publishers, Inc., 2010. - 151 p.
7. Chakraborty, D. Modeling and simulation of rotating disk-membrane module in ultrafiltration of bovine serum albumin / D. Chakraborty, D. Sarkar, C. Bhattacharjee // Separation science and technology. - 2013. - Vol. 48, № 17. - P. 2549-2566.
